这篇答案主要侧重于日语和韩语在现象上的相似之处。
 
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从语法上说，日语和韩语的语法是高度对应的。它们的句子都是由若干个“文节”（名词带着助词）组成的，语序都是SOV（主宾谓），状语等修饰成份位置比较随意。各种助词之间有几乎一对一的对应关系。动词、形容词等有比较复杂的活用。
 
从词汇上说，日语和韩语都从汉语和以英语为主的西方语言借入了大量实词。也有一些汉字词，是在日本被创造出来的，后来传到了中国和韩国。这些词汇在日语、韩语之间也是高度对应的。但是，日语、韩语的固有词却没有对应关系。
 
从文字上说，日语使用汉字来书写名词，以及动词、形容词的词干（若是非汉语的外来语，则用片假名书写）；用平假名来书写助词，以及动词、形容词的词尾。由于使用了汉字和假名两套书写系统，文节之间就不需要空格了。韩语现在仅用谚文书写，文节之间用空格隔开。
 
由于书写方式的不同，两种语言的对应关系乍一看并不明显。但一旦把韩文里的汉字词也用汉字书写，二者的对应就一目了然了：
日语：韓国語と日本語の関係はどうですか？
日语（文节间用空格隔开）：韓国語と 日本語の 関係は どうですか？
韩语：한국어와 일본어의 관계는 어떻습니까?
韩语（汉字词用汉字书写）：韓國語와 日本語의 關係는 어떻습니까?
这种程度的对应，使得在日韩对译时大脑里基本不需要缓存，看到一个词就可以马上译出来。

 
【Chris Xia】
 
我觉得在回答这个问题之前，有必要重新分析一下问题。问题问的是“韩语和日语的关系是怎样的”，而并非是“韩语和日语有什么相同与不同之处”。所以对于现存的几个回答，我都稍微有些悲观。
我个人以为，题主所问的日语和韩语的关系，应该着重于看它们在历史沿革中有没有交叉点与共通影响，而不是简单的语言现象的罗列；也就是说，这种“关系”应该是自历史语言学出发的，而非是当代共时语言学的音系、语素、句法、词汇乃至文字的描述。而不巧的是，我的历史语言学几乎等于没学，所以我这里只能打肿自己的脸来充当胖子了。
 
日语和韩语的语系分类是当前东亚语言研究里争议最大的内容之一。就目前的研究来看，这两种语言都是单支传承，日语（Japanese）的传承体系是古日语—（中古日语）—现代日语，韩语（Korean）的传承体系则是古韩语（也称新罗语 Silla）—中古韩语—现代韩语。就二者现状来看，并没有交集，不过当今对高句丽语（Goguryeo）的研究实在是不充分，不能保证以后对高句丽语有了更多研究之后发现二者之间有着更深的关系。我的回答也只基于当前的猜想撰写。
 
由于日语和韩语在地缘上十分接近，且在共时性语法中表现出了很多相似之处（可见典型的SOV句法特征、用言的活用等），学界中对于日语及韩语亲缘关系的猜想颇多，可以分为以下几种主要论点：
 
二者有亲缘关系，同属阿尔泰语系：Ramstedt将韩语划分至阿尔泰语系中，而Roy Andrew Miller则将日语划分至阿尔泰语系中，因此有该猜想。近年来支持此猜想的著作为An Etymological Dictionary of the Altaic Languages，出版于2003年。该猜想基于日语、韩语与阿尔泰语系诸语言（蒙古语、土耳其语等）的语音规则（如流音的分布）、句法规则等建立，但在同源词上却没有足够的证明。同源词往往是历史语言学中判断语言亲缘的一大证据，缺乏此证据即意味着在证明语言亲缘方面有着较大的困难。重庆小语种培训
 
二者有亲缘关系，同属?日韩—阿伊努语系：持此观点的有Greenberg和John Street，二者均认为韩语和日语之间有明显的亲缘关系，并且与阿尔泰语之间有距离。二者观点不同之处在于Greenberg认为阿尔泰语系和日韩语系之间并不存在更近的联系，而John Street认为，在上古北亚语时期，日韩语系曾与阿尔泰语系产生分化，相比起印欧、乌拉尔等语系来说，日韩语系与阿尔泰语系关系更近。但是关于日语和韩语之间的同源词，也缺乏足够的证据；可能在对高句丽语进行研究之后会有更多的证据出现。
 
二者无亲缘关系，韩语为孤立语言（language isolate，须与孤立语 isolated language 进行区分），日语系属则有多种可能；在1和2的猜想证据均不足的情况下，这是目前比较通行的一种观点：
 
日语属日本—琉球语系（Japonic），这是目前Multitree和Ethnologue两大网站采用的分类方式；
日语属南岛语系，与菲律宾、台湾、太平洋诸岛等地的语言同源，我曾经在中国出版的某本地图上看到这种说法；
日语属达罗毗荼语系（如大野晋观点）；
日语属汉藏语系藏缅语族（如西田龙雄观点）；
日语为与韩语无关的孤立语言。
 
即使有同样的句法形态、相近的借词和类似的书写方式（比如均曾经或正在使用汉字），由于同源词的缺乏，这两种语言之间也未必存在亲缘关系；这大概就是比较精确的描述日语和韩语之间关系的说法了。

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